Superficies cuÃdricas: conceptos y ejercicios resueltos
Las superficies cuÃdricas son figuras geomÃtricas tridimensionales que se pueden obtener al cortar un cono doble con un plano. Algunos ejemplos de superficies cuÃdricas son la esfera, el elipsoide, el cilindro, el hiperboloide y el paraboloide. En este artÃculo, vamos a repasar los conceptos bÃsicos sobre las superficies cuÃdricas y ver algunos ejercicios resueltos en formato pdf.
Conceptos bÃsicos sobre las superficies cuÃdricas
Una superficie cuÃdrica se puede definir mediante una ecuaciÃn de la forma:
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$$Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0$$
donde A, B, C, D, E, F, G, H, I y J son constantes reales. Dependiendo de los valores de estas constantes, la ecuaciÃn puede representar distintos tipos de superficies cuÃdricas.
Para identificar el tipo de superficie cuÃdrica que corresponde a una ecuaciÃn dada, se pueden seguir los siguientes pasos:
Completar cuadrados en las variables x, y y z para obtener una ecuaciÃn equivalente de la forma:
$$\\frac(x - h)^2a^2 + \\frac(y - k)^2b^2 + \\frac(z - l)^2c^2 = r^2$$
Identificar el centro y los ejes de la superficie cuÃdrica. El centro es el punto (h, k, l) y los ejes son las rectas paralelas a los ejes de coordenadas que pasan por el centro.
Comparar los valores de a, b y c para determinar el tipo de superficie cuÃdrica. Los casos posibles son:
Si a = b = c y r > 0, la superficie es una esfera de radio r centrada en (h, k, l).
Si a > 0, b > 0 y c > 0 y r = 0, la superficie es un punto (h, k, l).
Si a > 0, b > 0 y c > 0 y r < 0, la superficie es vacÃa.
Si a > 0, b > 0 y c = 0 y r > 0, la superficie es un elipsoide centrado en (h, k, l) con semiejes a, b y r.
Si a > 0, b = 0 y c > 0 y r > 0, la superficie es un elipsoide centrado en (h, k, l) con semiejes a, r y c.
Si a = 0, b > 0 y c > 0 y r > 0, la superficie es un elipsoide centrado en (h, k, l) con semiejes r, b y c.
Si a > 0, b > 0 y c = 0 y r = 0, la superficie es un cilindro elÃptico con eje paralelo al eje z que pasa por (h, k)
Si a > 0, b = 0 y c > 0 y r = 0, la superficie es un cilindro elÃptico con eje paralelo al eje y que pasa por (h, l).
Si a = 0, b > 0 y c = 0 y r = 0, la superficie es un cilindro elÃptico con eje paralelo al eje x que pasa por (k, l).
Si a > 0, b > 0 y c < 0 y r > 0, la superficie es un hiperboloide de una hoja centrado en (h, k, l) con semiejes a, b y $\\sqrt-c$.
Si a > 0, b < 0 y c > 0 y r > 0, la superficie es un hiperboloide de dos hojas centrado en (h, k, l) con semiejes a, $\\sqrt-b$ y c.
Si a < 0, b > 0 y c > 0 y r > 0, la superficie es un hiperboloide de dos hojas centrado en (h, k, l) con semiejes $\\sqrt-a$, b y c.
Si a > 0, b = 0 y c = 0 y r > 0, la superficie es un paraboloide elÃptico con vÃrtice en (h, k, l) y eje paralelo al eje z que se abre hacia arriba.
Si a < 0, b = 0 y c = 0 y r > 0, la superficie es un paraboloide elÃptico con vÃrtice en (h, k, l) y eje paralelo al eje z que se abre hacia abajo.
Si a = 0, b > 0 y c = 0 y r > 0, la superficie es un paraboloide elÃptico con vÃrtice en (h, k, l) y eje paralelo al eje x que se abre hacia la derecha.
Si a = 0, b < 0 y c = 0 y r > 0, la superficie es un paraboloide elÃptico con vÃrtice en (h, k, l) y eje paralelo al eje x que se abre hacia la izquierda.
Si a = 0, b = 0 y c > 0 y r > 0, la superficie es un paraboloide elÃptico con vÃrtice en (h, k, l) y eje paralelo al eje y que se abre hacia arriba.
Si a = 0, b = 0 y c < 0 y r > 0, la superficie es un paraboloide elÃptico con vÃrtice en (h, k, l) y eje paralelo al eje y que se abre hacia abajo.
Si a = b = c = D = E = F = G = H = I = J = r = h = k = l = a = b = c = D = E = F = G = H = I = J= r= h= k= l= a= b= c= D= E= F= G= H= I= J= r= h= k= l= a= b= c= D= E= F= G= H= I= J= r= h= k= l= a= b= c= D= E= F= G= H= I= J=r=h=k=l=a=b=c=D=E=F=G=H=I=r=h=k=l=a=b=c=D=E=F=G=h=k=l=a=b=c=D=E=F=G=h=k=l=a=b=c=D=E=F=G=h=k=l=a=b=c=D=E=F=G=h=k=l=a=b 29c81ba772
https://www.oraclegale.com/group/oraclegale-group/discussion/9aa5e846-7ee1-462b-b81a-aa554ae5ce1d
https://www.share-help.com/forum/allmanna-diskussioner/how-to-download-gx-developer-8-7-full-62